函数的最佳平方逼近

研究在区间$[a,b]$上一般的最佳平方逼近问题，对$f(x)\in C[a,b]$及$C[a,b]$中的一个子集$\varphi=span\{\varphi_0(x),\varphi_1(x),\cdots,\varphi_n(x)\}$，若存在$S^*(x)\in\varphi$，使

$$\begin{equation} \begin{aligned} \parallel f(x)-S^*(x)\parallel_2^2&=\mathop{\min}_{S(x)\in\varphi}\parallel f(x)-S(x)\parallel_2^2 \\&=\mathop{\min}_{S(x)\in\varphi}\int_a^b\varphi(x)[f(x)-S(x)]^2dx \end{aligned} \end{equation}$$

则称$S^*(x)$使$f(x)$在子集$\varphi\subset C[a,b]$中的最佳平方逼近函数

为了求$S^*(x)$，可等价于求多元函数

$$I(a_0,a_1,\cdots,a_n)=\int_a^b\rho(x)\left[\sum_{j=0}^{n}a_j\varphi_j(x)-f(x)\right]^2dx$$

的最小值问题

为了确定参数 $a_k\quad(k=0,1,\cdots,n)$ ,由多元函数极值存在的必要条件，有

$$\begin{aligned} &\frac{\partial I}{\partial a_k}=0\quad(k=0,1,\cdots,n) &\\&\frac{\partial I}{\partial u_k}=2\int_a^b\rho(x)\biggl[\sum_{j=0}^na_j\varphi_j(x)-f(x)\biggr]\varphi_k(x)dx=0\\&&(k=0,1,\cdots,n)\\&\text{即有}\sum_{j=0}^n(\varphi_j,\varphi_k)a_j=(f,\varphi_k),\quad(k=0,1,\cdots,n) \end{aligned}$$

而对应$\sum_{j=0}^n(\varphi_j,\varphi_k)a_j=(f,\varphi_k),\quad(k=0,1,\cdots,n)$即为：

$$\begin{bmatrix} (\varphi_0,\varphi_0) & (\varphi_0,\varphi_1) & \cdots & (\varphi_0,\varphi_n) \\ (\varphi_1,\varphi_0) & (\varphi_1,\varphi_1) & \cdots & (\varphi_1,\varphi_n) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ (\varphi_n,\varphi_0) & (\varphi_n,\varphi_1) & \cdots & (\varphi_n,\varphi_n) \end{bmatrix} {\color{red}{\begin{bmatrix} \textcolor{red}{a_0} \\ \textcolor{red}{a_1} \\ \vdots \\ \textcolor{red}{a_n} \end{bmatrix}}} = \begin{bmatrix} (\varphi_0,f) \\ (\varphi_1,f) \\ \vdots \\ (\varphi_n,f) \end{bmatrix}$$

红色部分即为所求。这是关于未知数$a_0,a_1,\cdots,a_n$的线性代数方程组，称为法方程组，由于$\varphi_0,\varphi_1,\cdots,\varphi_n$线性无关，故系数行列式$G(\varphi_0,\varphi_1,\cdots,\varphi_n)\neq0$，于是方程组有唯一解$a_k=a_k^*(k=0,1,\cdots,n)$，从而得到

$$S^*(x)=a_0^*\varphi_0(x)+\cdots+a_n^*\varphi_n(x)$$